УДК 536.2(076)

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ТЕПЛООБМЕНА
ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕПЛОТЕХНИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН

О.С.Шабунина
Томский политехнический университет
E-mail: oshabunja@mail.ru

 

Рассмотрена стационарная задача конвективного теплообмена при ламинарном течении жидкости в трубопроводе. Показаны ошибки при вычислении собственных чисел и пути их устранения.

Аналитические решения задач тепломассообмена широко применяются при обосновании технологических режимов (в энергетике, химической промышленности, металлургии и т.д.), разработке приближенных аналитических и численных методов решения.

В учебной литературе [1]  для студентов энергетических специальностей излагаются аналитические методы решения дифференциальных уравнений  теплообмена при краевых условиях однозначности, например, методом Фурье. При этом возникает необходимость в отыскании функций [3], удовлетворяющих всем  условиям поставленной краевой задачи. Небольшое отклонение в постановке краевой задачи  от классически рассмотренных в учебниках приводит иногда к трудностям в отыскании таких функций, содержащих собственные числа, которые находятся из граничных условий путем решения трансцендентных уравнений.

Покажем это на примере задачи теплообмена в цилиндрической трубе при гидравлически стабилизированном течении [1].

Стационарная задача описывается уравнением энергии для несжимаемой жидкости с постоянными физическими свойствами при отсутствии в потоке источников теплоты и диссипации энергии. В цилиндрических координатах в безразмерной форме она имеет вид:
                                (1)
при граничных условиях:

при х=0 и ;                                                                       (2)
при                                                                         (3)
при

Решение дифференциального уравнения (1) находим в виде произведения двух функций (метод Фурье)

                                                                         (4)
где   

Искомое решение  «можно представить в виде ряда, содержащего  лишь в четных степенях [1]:

где условно принимаются

В развернутом виде можно записать

Ряд сходится при любых и . Постоянная  определяется из граничного условия (3) (при R=1 ):

            (5)

                                                                

Это уравнение имеет бесконечное множество корней , собственными числами».

Их определение представляет важный практический интерес. Цель сообщения состоит в том, что имеются в учебной литературе вопросы у студентов, на которые должны быть даны ответы.

В таблице приведены собственные числа  рассчитанные по уравнению (5)

 

n
0	2,704364
1	6,679031
2	10,673380
3	14,671078
4	18,669872
5	22,669143

Из этой таблицы видно, что из всех приведенных собственных чисел  только одно значение 2,704364 удовлетворяет требованию условия (5), у которого невязка  при . Остальные собственные числа не рекомендуется для практических расчетов, так как

В докладе рассмотрен модифицированный метод Л.В.Канторовича [2,3], который позволил устранить выше отмеченные недостатки в определении собственных чисел.

Литература

 

1. Исаев  С.И., Кожинов И.А., Кофанов и др. Теория тепломассообмена: Учебник для вузов/ Под.ред.А.И.Леонтьева.-М.: Высшая школа, 1979. – 495 с./p>

2. Канторович Л.В. Использование идеи метода Галеркина в методе проведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям // Прикл.мат и механ. 1942.Т.6,№1.-с.31-40.

3. Кудинов В.А., Картошов Э.М., Калашников В.В. Аналитические решения задач тепломассопереноса и термоупругости для многослойных конструкций: Учебное пособие для вузов. – М.: Высш.шк., 2005.-430с.